高数这两个概念很容易混淆，连续到底是函数有原函数的什么条件

了解高数的小伙伴们应该经常能听到函数可积的概念small函数 。但是这个概念其实有点蒙糊，因为积分至少包括不定积分和定积分。“可积”到底指的是函数存在不定积分，还是可求定积分呢？这个说法似乎不太统一。

老黄以前没有想过这个问题，所以也是一直把这两个概念搞混的small函数 。直至老黄提出了一个问题，才发现，明确这个概念的必要性。这个问题是“连续到底是函数有原函数的什么条件？”

我们知道，函数的不定积分，是它的所有原函数组成的函数族small函数 。也就是说，函数有原函数，就必然有不定积分，有不定积分，就必定有原函数。所以它们可以看作是等价的。那么如果可积包括函数存在不定积分的话，连续对它们来说，条件就应该是相同的。但事实上并不是如此。

因为可积被更多地用于定积分的概念上，至少肯定包含可求定积分的意思small函数 。而如果函数存在第一类间断点，对函数是否存在原函数，以及是否可积，是有不同的结论的。

因为如果函数有第一类间断点，那么函数就不会有原函数，但是如果函数只有有限多个第一类间断点，却不影响函数可求定积分small函数 。这可就尴尬了哦。所以我们只能帮不定积分选边站，要么把它算做等价于函数有原函数，那样“可积”就没有它的份。要么把它算作定积分一边的，那么它就不能等价于函数有原函数。显然，选择前者，更加合理。所以以后老黄讲的“可积”，就只针对函数可求定积分，而不是指函数有不定积分了。

讲了这么多，都只为了明确一个概念，肯定有很多聪明的小伙伴不开心，说老黄尽讲废话了small函数 。不过老黄觉得，明确一下这个问题还是很有必要的。至少它可以证明老黄是一个笨蛋嘛。

接下来就来点实际的，通过一个证明和一个举实例，证明连续不是函数有原函数的必要条件small函数 。

证明：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.

证：设x0是f(x)的第一类间断点small函数 ，若F(x)是f(x)在U(x0)上的原函数，【用反证法】

则F’(x)=f(x), x∈U(x0).

从而有(lim(x→x0- )f(x)=lim(x→x0- )F’(x)=F’-(x0)=F’(x0)=f(x0).【核心只有这一步，第一步是简单地代入，相信不少小伙伴看不懂第二个等号的意思，第二步表示导函数在x0的左极限就是原函数的左导数small函数 。因为左导数有一个极限形式，就是x→x0-，两个极限形式相同，自然就统一了。第三步是左导数等于导数，否则就不可导。最后一步还原成f(x0)】

同理有lim(x→x0+ )f(x)=f(x0).

即f(x)在x0连续small函数 ，矛盾. ∴原命题得证.

就是这个定理容易让人误会连续是函数有原函数的必要条件. 接下来通过举例证明，说明连续不是有原函数的必要条件small函数 。

举例证明：含有第二类间断点的函数可能存在原函数.

证：如tanx在x=π/2 有无穷间断点small函数 ，属于第二类间断点，

而∫tanxdx=-ln|cosx|+C.

即-ln|cosx|是tanx的一个原函数.

又xsin(1/x)的导数sin(1/x)-1/x*cos(1/x)在x=0有振荡间断点small函数 ，

但xsin(1/x)是它的一个原函数.

∴连续不是函数有原函数的必要条件.

最后如果再证明“连续是有原函数的充分条件”就完美了small函数 。但那要用到变上限的定积分知识。老黄自己也不会也！嘻嘻！！！！过段时间再分享给大家，因为老黄的作品是有系统性的，定积分部分尚未涉及，再卖一个关子。 欲知后事如何，请听下下…下回分解！